Simulation d'un lancer de dé

L'intégralité de cette séquence peut être retrouvée sur Capytale à l'adresse suivante : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/5512-6205182 

En langage Python, il est possible de simuler un lancer de dé. La simulation s'apparente à tirer un nombre entre \(1\) et \(6\) de façon presque aléatoire : en langage technique, on dit qu'il s'agit d'une génération pseudo-aléatoire. On considère que la génération pseudo-aléatoire d'un nombre entre \(1\) et \(6\) par Python est suffisamment efficace pour que le résultat soit assimilé à un « vrai » lancer de dé.

On considère l'épreuve de Bernoulli consistant à obtenir un succès lorsque le dé affiche le nombre \(1\) ou le nombre \(6\) et à obtenir un échec dans les autres cas.

1. Démontrer que la probabilité de succès est \(\dfrac{1}{3}\). Quelle est la probabilité d'échec ?

2. On veut simuler cette épreuve de Bernoulli à l'aide du programme Python suivant.

La documentation Python donne les informations suivantes : (https://docs.python.org/fr/3/)
random.randint(a, b) : Renvoie un entier aléatoire N tel que a <= N <= b.
    a. Copier et exécuter plusieurs fois le code précédent, et noter, à chaque fois, la valeur de fréquence obtenue.
    b. Commenter les résultats obtenus : semblent-ils cohérents avec la valeur théorique attendue ?
3. Pour observer la répartition des fréquences, on répète la simulation un grand nombre de fois et on réalise un histogramme à l'aide du code ci-après. Toutes les lignes contenant la mention # pour afficher l'histogramme ne sont utiles que pour tracer l'histogramme et ne feront pas l'objet d'une étude approfondie.

La documentation Python donne les informations suivantes : (https://docs.python.org/fr/3/)
math.sqrt(x) : Renvoie la racine carrée de x.
    a. Que permet de compter la variable nombre_succes ? En déduire ce que représente la variable frequence_succes.
    b. Que permet de compter la variable nombre_echantillon ?
    c. Copier et exécuter le code ci-dessus qui simule \(200\) échantillons de taille \(100\) et affiche l'histogramme des fréquences obtenues, puis commenter l'histogramme obtenu.

La plupart des fréquences obtenues sont proches de \(\dfrac{1}{3}\) mais certaines s'en éloignent.
Décommenter la ligne \(\texttt{print("proportion des échantillons dans l'intervalle",total_echantillon / 200)}\) c'est-à-dire, retirer les # placés en début de ligne.
    d. Exécuter à nouveau le code ci-dessus et déterminer la proportion de fréquences comprises dans l'intervalle \(\left[ \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{10};\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{10} \right]\)où \(\dfrac{1}{3}\) correspond à la probabilité de succès et \(\dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{\sqrt{100}}\).
Par exemple, lors d'une simulation, les résultats obtenus ont été les suivants :
\(\texttt{proportion des échantillons dans l'intervalle 0.945}\)

Ici on constate que \(11\) échantillons ont des fréquences de succès en dehors de l'intervalle. On a donc \(200-11=189\) échantillons qui ont des fréquences de succès dans l'intervalle, or \(\dfrac{189}{200}=0,945\).

4. Modifier le code afin qu'il génère \(300\) échantillons de \(150\) lancers et vérifier que la fréquence des échantillons appartenant à l'intervalle \(\left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]\) est supérieure ou égale à \(95\: \%\) ou très proche.